Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{5x^2+x+2}{5x-2}$ là đường thẳng có phương trình

Bài toán gốc

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{5x^2+x+2}{5x-2}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y=x+\dfrac{3}{5}$.

B. $y=x-\dfrac{3}{5}$.

C. $y=x-\dfrac{1}{5}$.

D. $y=x-\dfrac{1}{25}$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=x+\dfrac{3}{5}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tiệm cận xiên (TCN) của đồ thị hàm số hữu tỉ $y=f(x)$ khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị. Phương pháp phổ biến nhất là sử dụng định nghĩa $y=ax+b$ với $a = ext{lim}_{x\to\pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ và $b = ext{lim}_{x\to\pm\infty} [f(x) – ax]$, hoặc thực hiện phép chia đa thức $P(x)$ cho $Q(x)$ để đưa về dạng $y = ax + b + g(x)$, trong đó $\text{lim}_{x\to\pm\infty} g(x) = 0$. Đường thẳng $y=ax+b$ chính là TCN.

Bài toán tương tự

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{6x^2-5x+1}{3x+1}$ là đường thẳng có phương trình:\nA. $y=2x+\dfrac{7}{3}$.\nB. $y=2x-\dfrac{7}{3}$.\nC. $y=2x-\dfrac{5}{3}$.\nD. $y=x-\dfrac{7}{3}$.\n\nĐáp án đúng: B.\nLời giải ngắn gọn: Đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên.\nTa có $a = \text{lim}_{x\to\infty} \dfrac{6x^2-5x+1}{x(3x+1)} = \text{lim}_{x\to\infty} \dfrac{6x^2}{3x^2} = 2$.\nTa có $b = \text{lim}_{x\to\infty} \left[\dfrac{6x^2-5x+1}{3x+1} – 2x\right] = \text{lim}_{x\to\infty} \left[\dfrac{6x^2-5x+1 – 2x(3x+1)}{3x+1}\right] = \text{lim}_{x\to\infty} \left[\dfrac{-7x+1}{3x+1}\right] = -\dfrac{7}{3}$.\nVậy tiệm cận xiên là $y=2x-\dfrac{7}{3}$.