Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^3-x^2+4x+2}{4x^2-2x-3}$ là đường thẳng có phương trình

Bài toán gốc

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2x^3-x^2+4x+2}{4x^2-2x-3}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}$.

B. $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.

C. $y=-\dfrac{1}{2}x$.

D. $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{n}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-1}}+…}{{{a}_{2}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{2}}{{x}^{n-2}}+…}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài tìm tiệm cận xiên (TCS) của hàm số hữu tỉ $y=P(x)/Q(x)$ khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị (bậc 3/ bậc 2). Phương pháp giải chuẩn tắc là sử dụng định nghĩa: TCS có dạng $y=ax+b$, trong đó $a=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}$ và $b=\lim_{x\to\infty}(y-ax)$, hoặc sử dụng phép chia đa thức $P(x)$ cho $Q(x)$, phần thương là $ax+b$. Một công thức nhanh được áp dụng khi $y=\dfrac{a_1x^n+b_1x^{n-1}+…}{a_2x^{n-1}+b_2x^{n-2}+…}$ là $y=\dfrac{a_1}{a_2}x – \dfrac{a_1b_2-a_2b_1}{a_2^2}$.

Bài toán tương tự

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^3+2x^2-x+1}{x^2-4x+5}$ là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

**A.** $y=3x+2$.
**B.** $y=3x-14$.
**C.** $y=3x+14$.
**D.** $y=3x$.

**Đáp án đúng:** C.

**Lời giải ngắn gọn:** Hàm số có dạng $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với bậc của tử là 3 và bậc của mẫu là 2. Tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$. Hệ số $a$ là tỉ số của hệ số cao nhất: $a = \dfrac{3}{1} = 3$. Ta thực hiện phép chia đa thức $3x^3+2x^2-x+1$ cho $x^2-4x+5$. Kết quả phép chia là $3x+14$ (dư $40x-69$). Do đó, tiệm cận xiên là $y=3x+14$.