• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 12 / Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng

11/02/2020 by admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng
===========
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng.
==============

Câu 66
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thoả mãn $3f(x)+xf'(x)=x^{2018}$ với mọi $x \in [0; 1]$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2018\times 2021}$
$I=\dfrac{1}{2019\times 2020}$
$I=\dfrac{1}{2019\times 2021}$
$I=\dfrac{1}{2018\times 2019}$

Lời Giải:
Từ giả thiết $3f(x)+xf'(x)=x^{2018},$ nhân hai vế cho $x^2$
ta được:
$3x^2f(x)+x^3f'(x)=x^{2020}\overset{}{\longleftrightarrow}\left[x^3f(x)\right]’=x^{2020}$.
Suy ra $x^3f(x)=\displaystyle\int x^{2020}\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^{2021}}{2021}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=\dfrac{x^{2018}}{2021}$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{1}{2021}x^{2018}\mathrm{\,d}x$
$=\dfrac{1}{2021} \cdot \dfrac{1}{2019}x^{2019}\bigg|_0^1=\dfrac{1}{2021\times 2019}$.
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho $x^2$ là để thu được đạo hàm đúng dạng $(uv)’=u’v+uv’$.
==============

Câu 67
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 4],$ thỏa mãn $f(x)+f'(x)=\mathrm{e}^{-x}\sqrt{2x+1}$ với mọi $x \in [0; 4]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=3\mathrm{e}$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\mathrm{e}^4-1$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=3$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^x$ để thu được đạo hàm đúng, ta được:
$\mathrm{e}^xf(x)+\mathrm{e}^xf'(x)=\sqrt{2x+1} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^xf(x)\right]’=\sqrt{2x+1}$.
Suy ra $\mathrm{e}^xf(x)$
$=\displaystyle\int\limits \sqrt{2x+1}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}+C$.
Vậy $\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}$.
==============

Câu 68
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f'(x)-2018f(x)=2018x^{2017}\mathrm{e}^{2018x}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(0)=2018$. Tính giá trị $f(1)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=2018\mathrm{e}^{-2018}$
$f(1)=2017\mathrm{e}^{2018}$
$f(1)=2018\mathrm{e}^{2018}$
$f(1)=2019\mathrm{e}^{2018}$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{-2018x}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{-2018x}-2018f(x)\mathrm{e}^{-2018x}=2018x^{2017} \Leftrightarrow \left[f(x)\mathrm{e}^{-2018x}\right]’=2018x^{2017}$.
Suy ra $f(x)\mathrm{e}^{-2018x}$
$=\displaystyle\int\limits 2018x^{2017}\mathrm{\,d}x=x^{2018}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018 \to f(x)=\left(x^{2018}+2018\right)\mathrm{e}^{2018x}$.
Vậy $f(1)=2019\mathrm{e}^{2018}$.
==============

Câu 69
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f'(x)+xf(x)=2x\mathrm{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=e$
$f(1)=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
$f(1)=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$
$f(1)=-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}+f(x)x\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)\right]’=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}$.
Suy ra $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)=\displaystyle\int 2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}\mathrm{\,d}x=-2\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=-2\mathrm{e}^{-x^2}$.
Vậy $f(1)=-2\mathrm{e}^{-1}=-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.
==============

Câu 70
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right),$ thỏa mãn hệ thức $f(x)+\tan xf'(x)=\dfrac{x}{\cos^3x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a, b \in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$P=-\dfrac{4}{9}$
$P=-\dfrac{2}{9}$
$P=\dfrac{7}{9}$
$P=\dfrac{14}{9}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, ta có $\cos xf(x)+\sin xf'(x)=\dfrac{x}{\cos^2x} \Leftrightarrow \left[\sin xf(x)\right]’=\dfrac{x}{\cos^2x}$.
Suy ra $\sin xf(x)=\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=x\tan x+\ln \left|\cos x\right|+C$.
Với $x=\dfrac{\pi}{3} \to \dfrac{\sqrt{3}}{2}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3} \cdot \sqrt{3}-\ln 2 \to \sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2}{3} \cdot \pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$.

Với $x=\dfrac{\pi}{6} \to \dfrac{1}{2}f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 2+C \to f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{9} \cdot \pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$.
Suy ra $\sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3 \to \begin{cases}&a=\dfrac{5}{9}\\&b=-1\end{cases} \to P=a+b=-\dfrac{4}{9}$.

Bài liên quan:

  • Ôn tập phép đổi cận đổi biến trong tích phân
  • Một số thủ thuật tính tích phân hàm ẩn – tự luận và Casio
  • Tìm GTLN-GTNN của tích phân
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder 2
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật biến đổi
  • Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)
  • Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất (VDC)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2020) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.