Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng
===========
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết $3f(x)+xf'(x)=x^{2018},$ nhân hai vế cho $x^2$
ta được:
$3x^2f(x)+x^3f'(x)=x^{2020}\overset{}{\longleftrightarrow}\left[x^3f(x)\right]’=x^{2020}$.
Suy ra $x^3f(x)=\displaystyle\int x^{2020}\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^{2021}}{2021}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=\dfrac{x^{2018}}{2021}$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{1}{2021}x^{2018}\mathrm{\,d}x$
$=\dfrac{1}{2021} \cdot \dfrac{1}{2019}x^{2019}\bigg|_0^1=\dfrac{1}{2021\times 2019}$.
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho $x^2$ là để thu được đạo hàm đúng dạng $(uv)’=u’v+uv’$.
==============

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^x$ để thu được đạo hàm đúng, ta được:
$\mathrm{e}^xf(x)+\mathrm{e}^xf'(x)=\sqrt{2x+1} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^xf(x)\right]’=\sqrt{2x+1}$.
Suy ra $\mathrm{e}^xf(x)$
$=\displaystyle\int\limits \sqrt{2x+1}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}+C$.
Vậy $\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}$.
==============

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{-2018x}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{-2018x}-2018f(x)\mathrm{e}^{-2018x}=2018x^{2017} \Leftrightarrow \left[f(x)\mathrm{e}^{-2018x}\right]’=2018x^{2017}$.
Suy ra $f(x)\mathrm{e}^{-2018x}$
$=\displaystyle\int\limits 2018x^{2017}\mathrm{\,d}x=x^{2018}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018 \to f(x)=\left(x^{2018}+2018\right)\mathrm{e}^{2018x}$.
Vậy $f(1)=2019\mathrm{e}^{2018}$.
==============

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}+f(x)x\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)\right]’=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}$.
Suy ra $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)=\displaystyle\int 2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}\mathrm{\,d}x=-2\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=-2\mathrm{e}^{-x^2}$.
Vậy $f(1)=-2\mathrm{e}^{-1}=-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, ta có $\cos xf(x)+\sin xf'(x)=\dfrac{x}{\cos^2x} \Leftrightarrow \left[\sin xf(x)\right]’=\dfrac{x}{\cos^2x}$.
Suy ra $\sin xf(x)=\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=x\tan x+\ln \left|\cos x\right|+C$.
Với $x=\dfrac{\pi}{3} \to \dfrac{\sqrt{3}}{2}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3} \cdot \sqrt{3}-\ln 2 \to \sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2}{3} \cdot \pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$.

Với $x=\dfrac{\pi}{6} \to \dfrac{1}{2}f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 2+C \to f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{9} \cdot \pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$.
Suy ra $\sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3 \to \begin{cases}&a=\dfrac{5}{9}\\&b=-1\end{cases} \to P=a+b=-\dfrac{4}{9}$.