• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng

Đăng ngày: 11/02/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng 1

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng
===========
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng.
==============

Câu 66
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1],$ thoả mãn $3f(x)+xf'(x)=x^{2018}$ với mọi $x \in [0; 1]$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2018\times 2021}$
$I=\dfrac{1}{2019\times 2020}$
$I=\dfrac{1}{2019\times 2021}$
$I=\dfrac{1}{2018\times 2019}$

Lời Giải:
Từ giả thiết $3f(x)+xf'(x)=x^{2018},$ nhân hai vế cho $x^2$
ta được:
$3x^2f(x)+x^3f'(x)=x^{2020}\overset{}{\longleftrightarrow}\left[x^3f(x)\right]’=x^{2020}$.
Suy ra $x^3f(x)=\displaystyle\int x^{2020}\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^{2021}}{2021}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=\dfrac{x^{2018}}{2021}$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{1}{2021}x^{2018}\mathrm{\,d}x$
$=\dfrac{1}{2021} \cdot \dfrac{1}{2019}x^{2019}\bigg|_0^1=\dfrac{1}{2021\times 2019}$.
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho $x^2$ là để thu được đạo hàm đúng dạng $(uv)’=u’v+uv’$.
==============

Câu 67
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 4],$ thỏa mãn $f(x)+f'(x)=\mathrm{e}^{-x}\sqrt{2x+1}$ với mọi $x \in [0; 4]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=3\mathrm{e}$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\mathrm{e}^4-1$
$\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=3$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^x$ để thu được đạo hàm đúng, ta được:
$\mathrm{e}^xf(x)+\mathrm{e}^xf'(x)=\sqrt{2x+1} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^xf(x)\right]’=\sqrt{2x+1}$.
Suy ra $\mathrm{e}^xf(x)$
$=\displaystyle\int\limits \sqrt{2x+1}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}+C$.
Vậy $\mathrm{e}^4f(4)-f(0)=\dfrac{26}{3}$.
==============

Câu 68
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f'(x)-2018f(x)=2018x^{2017}\mathrm{e}^{2018x}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $f(0)=2018$. Tính giá trị $f(1)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=2018\mathrm{e}^{-2018}$
$f(1)=2017\mathrm{e}^{2018}$
$f(1)=2018\mathrm{e}^{2018}$
$f(1)=2019\mathrm{e}^{2018}$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{-2018x}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{-2018x}-2018f(x)\mathrm{e}^{-2018x}=2018x^{2017} \Leftrightarrow \left[f(x)\mathrm{e}^{-2018x}\right]’=2018x^{2017}$.
Suy ra $f(x)\mathrm{e}^{-2018x}$
$=\displaystyle\int\limits 2018x^{2017}\mathrm{\,d}x=x^{2018}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018 \to f(x)=\left(x^{2018}+2018\right)\mathrm{e}^{2018x}$.
Vậy $f(1)=2019\mathrm{e}^{2018}$.
==============

Câu 69
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f'(x)+xf(x)=2x\mathrm{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$f(1)=e$
$f(1)=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
$f(1)=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$
$f(1)=-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$

Lời Giải:
Nhân hai vế cho $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
$f'(x)\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}+f(x)x\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}} \Leftrightarrow \left[\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)\right]’=2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}$.
Suy ra $\mathrm{e}^{\tfrac{x^2}{2}}f(x)=\displaystyle\int 2x\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}\mathrm{\,d}x=-2\mathrm{e}^{-\tfrac{x^2}{2}}+C$.
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=0 \to f(x)=-2\mathrm{e}^{-x^2}$.
Vậy $f(1)=-2\mathrm{e}^{-1}=-\dfrac{2}{\mathrm{e}}$.
==============

Câu 70
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right),$ thỏa mãn hệ thức $f(x)+\tan xf'(x)=\dfrac{x}{\cos^3x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a, b \in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$P=-\dfrac{4}{9}$
$P=-\dfrac{2}{9}$
$P=\dfrac{7}{9}$
$P=\dfrac{14}{9}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, ta có $\cos xf(x)+\sin xf'(x)=\dfrac{x}{\cos^2x} \Leftrightarrow \left[\sin xf(x)\right]’=\dfrac{x}{\cos^2x}$.
Suy ra $\sin xf(x)=\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=x\tan x+\ln \left|\cos x\right|+C$.
Với $x=\dfrac{\pi}{3} \to \dfrac{\sqrt{3}}{2}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3} \cdot \sqrt{3}-\ln 2 \to \sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2}{3} \cdot \pi \sqrt{3}-2\ln 2+2C$.

Với $x=\dfrac{\pi}{6} \to \dfrac{1}{2}f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}\ln 3-\ln 2+C \to f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{9} \cdot \pi \sqrt{3}+\ln 3-2\ln 2+2C$.
Suy ra $\sqrt{3}f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{9}\pi \sqrt{3}-\ln 3 \to \begin{cases}&a=\dfrac{5}{9}\\&b=-1\end{cases} \to P=a+b=-\dfrac{4}{9}$.

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Bài liên quan:

  1. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\). Tính tích phân

    \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} {{e^{2x}}.f\left( {1 + {e^{2x}}} \right)dx} \)

  2. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right)} dx\)bằng

  3. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\2{x^2} – x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)} \sin x{\rm{d}}x\).

  4. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)Tích phân \(\int_{ – 2}^8 {f\left( x \right)} dx\) bằng

  5. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {1 + x} \right| – \left| {1 – x} \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Tính tổng \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right)\).

  6. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\{x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{ – 2}^1 {f(\sqrt[3]{{1 – x}}){\rm{d}}x}  = \frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó \(m – 2n\) bằng:

  7. Cho hai hàm \(f(x)\) và \(g(x)\)có đạo hàm trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f(1) = g(1) = 0\) và

    \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2}\end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)

    Tính tích phân\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]} dx\).

  8. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 3\,\,\,{\rm{khi }}x < \frac{1}{2}\\x + 4\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)} \cos x{\rm{d}}x\).

  9. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\2x – 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {5\sin 2x – 1} \right)} \cos 2x{\rm{d}}x\).

  10. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} – 1\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\\x – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 2\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\,\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {2 – 7\tan x} \right)} \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\).

  11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f’\left( x \right) =  – {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

    Tính giá trị của \(f\left( {\ln 2} \right)\).

  12. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{ – 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f\left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_0^{\sqrt {\sqrt e  – 1} } {\frac{{x.f\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a + b\) bằng

  13. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x – 1)\cos x\;dx}  + \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx}  = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a + b\) bằng

  14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4\), \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x + 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

  15. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 4\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\4 – 2x\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 – 4{{\cos }^2}x} \right)} \sin 2x{\rm{d}}x\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.