(THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh – 2022) Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy bằng \(4a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\), tính khoảng cách từ điểm \(M\) tới mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\)?
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(3a\).
C. \(a\sqrt 3 \).
D. \(\frac{{3a}}{2}\).
Lời giải:
Chọn A
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A’BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AI \subset \left( {ABC} \right),AI \bot BC\\A’I \subset \left( {A’BC} \right),A’I \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\widehat {\left( {A’BC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right] = \left( {\widehat {AI,A’I}} \right) = \widehat {A’IA} = {30^0}\).
Xét tam giác \(A’IA\) vuông tại \(A\) suy ra \(\tan \widehat {A’IA} = \frac{{A’A}}{{AI}} \Rightarrow A’A = \tan {30^0}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\).
Ta có: \(AM \cap \left( {A’BC} \right) = B \Rightarrow \frac{{d\left[ {M,\left( {A’BC} \right)} \right]}}{{d\left[ {A,\left( {A’BC} \right)} \right]}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Kẻ \(AH \bot A’I\),
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A’BC} \right) \bot \left( {A’AI} \right)\left( {Do{\rm{ }}BC \bot \left( {A’AI} \right)} \right)\\\left( {A’BC} \right) \cap \left( {A’AI} \right) = A’I\\AH \subset \left( {A’AI} \right),AH \bot A’I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’BC} \right) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {A’BC} \right)} \right] = AH\)
Xét tam giác \(A’IA\) vuông tại \(A\) suy ra \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt 3 a\).
Vậy \(d\left[ {M,\left( {A’BC} \right)} \right] = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời