(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Người ta dùng thuỷ tinh trong suốt để làm một cái chặn giấy hình tứ diện đều. Để trang trí cho nó, người thiết kế đặt trong khối tứ diện 4 quả cầu nhựa màu xanh có bán kính bằng nhau là \(r = \sqrt 2 (\;{\rm{cm}})\). Biết rằng 4 quả cầu này đôi một tiếp xúc với nhau và mỗi mặt của tứ diện tiếp xúc với 3 quả cầu, đồng thời không cắt quả cầu còn lại. Nếu bỏ qua bề dày của các mặt thì người ta cần dùng bao nhiêu thuỳ tinh để làm chặn giấy trên (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A. \(195,66\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

B. \(62,09\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

C. \(30,03\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

D. \(65,55\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Lời giải:

Chọn B

⬥ Goi \({I_1},\,\,{I_2},\,\,{I_3},\,\,{I_4}\) lần lượt là tâm của 4 hình cầu đã cho. Khi đó \({I_1}{I_2}{I_3}{I_4}\) là một tứ diện đều có cạnh bằng \(2r = 2\sqrt 2 \,\,({\rm{cm}})\) và chiều cao \(h = \frac{{2r\sqrt 6 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,\,({\rm{cm}})\). Do đó hai tứ diện \(ABCD\) và \({I_1}{I_2}{I_3}{I_4}\) đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\).

⬥ Gọi \(O\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) thì \(O\) cũng là trọng tâm của tứ diện \({I_1}{I_2}{I_3}{I_4}\). Do đó \(O\) là tâm đồng dạng. Giả sử phép đồng dạng tâm \(O\) lần lượt biến các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) thành \({I_1},\,\,{I_2},\,\,{I_3},\,\,{I_4}\). Khi đó, hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {{I_2}{I_3}{I_4}} \right)\) song song nhau.

⬥ Gọi \(G,\,\,G’\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\) và \({I_2}{I_3}{I_4}\). Khi đó:

\(OG’ = \frac{1}{4}h = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) và \(OG = OG’ + r = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 2 \). Suy ra \(k = \frac{{OG}}{{OG’}} = 1 + \sqrt 6 \)

⬥ Khi đó, thể tích của tứ diện \(ABCD\) là:

\({V_{ABCD}} = {k^3}.{V_{{I_1}{I_2}{I_3}{I_4}}} = {\left( {1 + \sqrt 6 } \right)^3}.\frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {2r} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{8\left( {19 + 9\sqrt 6 } \right)}}{3}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

⬥ Thể tích của mỗi khối cầu là:

\({V_c} = \frac{4}{3}\pi .{r^3} = \frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

⬥ Vậy lượng thuỷ tinh cần dùng là:

\(V = {V_{ABCD}} – 4.{V_c} = \frac{{8\left( {19 + 9\sqrt 6 } \right)}}{3} – 4.\frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3} \approx 62,06\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)