(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Trên \(d\) lấy điểm \(S\) và đặt \(AS = x\left( {x > 0} \right)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(ABC\) và \(SBC\). Biết \(HK\) cắt \(d\) tại điểm \(S’\). Khi \(SS’\) ngắn nhất thì khối chóp \(S.ABC\) có thể tích bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

Lời giải:

Chọn D

+) Chứng minh \(HK \bot \left( {SBC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot BC \Rightarrow HK \bot BC\)

\(\left. \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot SC\). Lại có \(BK \bot SC\) nên \(HK \bot SC\).

Vậy \(HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HK \bot SM\) (với \(M\) là trung điểm của \(BC\)).

+) Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

.

+) \(SS’ = SA + AS’ = x + \frac{{{a^2}}}{{2x}} \ge a\sqrt 2 \)

\(\min SS’ = a\sqrt 2 \Leftrightarrow x = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện