(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho\(MC = 2MB\); \(N,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(AD\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( {MNP} \right)\). Thể tích khối đa diện \(ABMNPQ\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{{216}}\).

B. \(\frac{{13\sqrt 2 }}{{432}}\).

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{36}}\).

D. \(\frac{{11\sqrt 2 }}{{432}}\).

Lời giải:

Chọn B

Gọi \(I = MN \cap CD\) suy ra \(Q = IP \cap AC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(MC\). Dễ thấy \(MN,DK\) lần lượt là đường trung bình \(\Delta BDK\), \(\Delta CMI\) nên \(MN = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}IM = \frac{1}{4}IM\)\( \Rightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{3}{4}\).

Ta có \(MQ//PN \Rightarrow \)\(\frac{{IP}}{{IQ}} = \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{3}{4}\).

Ta có: \(\frac{{{V_{IDNP}}}}{{{V_{ICMQ}}}} = \frac{{ID}}{{IC}}.\frac{{IN}}{{IM}}.\frac{{IP}}{{IQ}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{{32}}\)

\( \Rightarrow {V_{DNPCMQ}} = \frac{{23}}{{32}}{V_{ICMQ}} = \frac{{23}}{{32}}.2.{V_{DCMQ}}\)\( = \frac{{23}}{{32}}.2.\frac{{{S_{\Delta CMQ}}}}{{{S_{\Delta CAB}}}}.{V_{ABCD}}\)\( = \frac{{23}}{{32}}.2.\frac{{CM}}{{CB}}.\frac{{CQ}}{{CA}}.{V_{ABCD}}\)

\( = \frac{{23}}{{32}}.2.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.{V_{ABCD}} = \frac{{23}}{{36}}.{V_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{ABMNPQ}} = \frac{{13}}{{36}}.{V_{ABCD}} = \frac{{13}}{{36}}.\frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{13\sqrt 2 }}{{432}}.\)

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện