Ứng dụng hàm số vào giải toán

Đề bài: Cho $a,b,c$ là các hằng số thỏa mãn $\frac{a}{2010}+\frac{b}{2009}+\frac{c}{2008} = 0$. Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c=0$ có nghiệm trên $(0;1).$   Lời giải Xét $f(x) = ax^{2009} + bx^{2008}+cx^{2007}, x \in  R$$\Rightarrow F(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = \frac{ax^{2010}}{2010} + \frac{bx^{2009}}{2009}+\frac{cx^{2008}}{2008}$ khả vi trên $R$ và thỏa mãn … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $a,b,c$ là các hằng số thỏa mãn $\frac{a}{2010}+\frac{b}{2009}+\frac{c}{2008} = 0$. Chứng minh phương trình $ax^2 + bx + c=0$ có nghiệm trên $(0;1).$  

Đề bài: Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$   Lời giải Cần giải chi tiết … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng phương trình : $ (4x-3) \log_{2010}x + \frac{2x^2-3x+1}{x\ln 2010} = 0$ có nghiệm trên $\left ( \frac{1}{2} ;1 \right )$  

Đề bài: Cho $ m \in  N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2}  \right ) , x\geq 1$ Lời giải Xét $ g(x) = e^{2x} - 2 (x^2 +x), x\geq 0$      $ g'(x) = 2e^{2x} - 2 (2x + 1) = 2 (e^{2x} -2x-1)$      $ g''(x) = 2 (2e^{2x} -2 ) = 4 (e^{2x}-1) \geq 0, \forall x \geq 0 $$\Rightarrow g' $ tăng trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $ m \in  N.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $f(x) = \int\limits_{1}^{x}t^m.e^{2t} -2 \left ( \frac{x^{m+3}}{m+3} +\frac{x^{m+2}}{m+2}  \right ) , x\geq 1$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x - 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$      trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x - 2} \right| - \ln \frac{1}{x}$       trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$ Lời giải $1/$      Hàm số xác định trên đoạn $\left[ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:$1/\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + 2x – 3} \right| + \frac{3}{2}\ln x$      trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,4} \right]$$2/\,\,\,\,\,f(x) = \left| {{x^2} + x – 2} \right| – \ln \frac{1}{x}$       trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2},\,2} \right]$

Đề bài: Giải hệ   $\begin{cases}\frac{\tan x}{x}=\frac{\tan y}{y} \\ \sin x+\sin y=\sqrt{2} \end{cases}     x,y \in (0;\frac{\pi}{2})$ Lời giải Xét:   $ f(t)=\frac{\tan t}{t},  t \in (0;\frac{\pi}{2})$         $ f'(t)=\frac{\frac{t}{\cos^2 t }-\tan t}{t^2}=\frac{2t-\sin 2t}{2t^2.\cos^2 t}>0, \forall t \in (0;\frac{\pi}{2})$ ( vì  $|\sin u|0$) $\Rightarrow f (t)$ tăng trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Giải hệ   $\begin{cases}\frac{\tan x}{x}=\frac{\tan y}{y} \\ \sin x+\sin y=\sqrt{2} \end{cases}     x,y \in (0;\frac{\pi}{2})$

Đề bài: $1$. Khảo sát hàm số \(y =  - {x^4} + 5{x^2} - 4\)$2$. Xác định $m$ để phương trình \({x^4} - 5{x^2} - {m^2} + \sqrt 3 m = 0\) có $4$ nghiệm phân biệt Lời giải $1$. Bạn đọc tự giải$2$. Đặt \(t = {x^2}\), phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 5t - {m^2} + \sqrt 3 m = 0\left( 1 \right)\)Phương trình đã cho sẽ có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 … [Đọc thêm...] vềĐề: $1$. Khảo sát hàm số \(y =  – {x^4} + 5{x^2} – 4\)$2$. Xác định $m$ để phương trình \({x^4} – 5{x^2} – {m^2} + \sqrt 3 m = 0\) có $4$ nghiệm phân biệt

Đề bài: Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$ Lời giải $1)$     $y = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}$Hàm số xác … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x – 1}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$tùy theo giá trị của tham số $m$