Ứng dụng hàm số vào giải toán

Đề bài: Tìm $m$ để phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$:     $ \sin ^mx + \cos ^m x=1$ Lời giải Đặt $f(x) = \sin ^m x + \cos ^mx $, khi đó yêu cầu bài toán được phát biểu dưới dạng :      $ f(x) = 1, \forall x \Leftrightarrow  \begin{cases}f'(x) = 0 , \forall x           (1) \\ f \left ( \frac{\pi}{4}  \right ) =1    (2) \end{cases} $Giải (1) ta được :       $m.\cos … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm $m$ để phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$:     $ \sin ^mx + \cos ^m x=1$

Đề bài: Giải các phương trình :$\begin{array}{l}1)2^x + x - 3 = 0                         (1)\\2)3^x + 4^x + 12^x = 13^x                            (2)\end{array}$ Lời giải $1)$    TXĐ: R.Đặt $f(x) = {2^x} + x - 3$Ta có $f(1) = 0 \Rightarrow x = 1$ là $1$ nghiệm.Cho $x_1>x_2\in R\Rightarrow 2^{x_1}>2^{x_2}\Rightarrow 2^{x_1}+x_1-3>2^{x_2}+x_2-3$$\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Giải các phương trình :$\begin{array}{l}1)2^x + x – 3 = 0                         (1)\\2)3^x + 4^x + 12^x = 13^x                            (2)\end{array}$

Đề bài: Cho $y=\sin ^3 x - \cos ^3x.$  Tìm $max  y , min  y.$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $y=\sin ^3 x – \cos ^3x.$  Tìm $max  y , min  y.$

Đề bài: Giải hệ  $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ \cos x+\cos y=\sqrt{3} \end{cases}    x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ Lời giải Xét     $f(t)=\tan t-t, t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$  $f'(t)=\frac{1}{\cos^2 t}-1=\tan^2 t \geq0, \forall t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow t=0    \Rightarrow $   $f$ tăng trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Giải hệ  $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ \cos x+\cos y=\sqrt{3} \end{cases}    x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Đề bài: $y =f(x) \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:                    ${x^2} - (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$ Lời giải $1.$ Xin dành cho bạn đọc. $2.$  Dễ thấy $x=\pm 2$ không là nghiệm phương trình, do đó phương trình có dạng … [Đọc thêm...] vềĐề: $y =f(x) \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.$2$. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:                    ${x^2} – (4 + m)\left| x \right| + 5 + 2m = 0$

Đề bài: Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:a) $bx^3+ax^2+bx+c=0$                                    b) $1+\sin x=x^2$. Lời giải a) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty $  nên   $\exists x_0: f(x_0)>0$    và $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} f(x)= -\infty $   nên   $\exists x_1: f(x_1)Mặt khác $f(x)$ liên tục trên $R$ tức trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:a) $bx^3+ax^2+bx+c=0$                                    b) $1+\sin x=x^2$.

Đề bài: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$ Lời giải Tập xác định của hàm số là :       $\left\{ \begin{array}{l}0 \le \sin {\rm{x }} \le 1\\0 \le \cos x \le 1          (\alpha )\end{array} \right.$       Với $x \in (\alpha )$ ta có  $\left\{ \begin{array}{l}0 \le \sqrt {\cos x} {\rm{ }} \le 1\\0 \le \sqrt {\sin x}  \le 1\end{array} … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$

Đề bài: Tìm $a$ để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi $x$.$a{.4^x} + (a - 1){.2^{x + 2}} + a - 1 > 0$ Lời giải Đặt $t = {2^x} > 0$, khi đó bài toán quy về tìm $a$ để bất phương trình$a{t^2} + 4\left( {a - 1} \right)t + a - 1 > 0$ nghiệm đúng với $\forall t > 0$            $(1)$$(1)  \Leftrightarrow a\left( {{t^2} + 4t + 1} \right) > 4t + 1,\forall t > 0$       $ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm $a$ để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi $x$.$a{.4^x} + (a – 1){.2^{x + 2}} + a – 1 > 0$