Đề: Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:  $\frac{x}{\ln x}=\ln m$

Đề bài: Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình:  $\frac{x}{\ln x}=\ln m$

Lời giải

Trước hết với $m\leq 0$ phương trình vô nghiệm, xét với $m>0$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng $y=\ln m$ với đồ thị hàm số $y=\frac{x}{\ln x}$.
  Xét hàm sô $y=\frac{x}{\ln x}$ .
-Miền xác định $D=(0; +\infty) \setminus \left\{ {1} \right\}$.
-Đạo hàm $y^’=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}, y^’=0\Leftrightarrow \ln x-1=0\Leftrightarrow x= e$.
-Giới hạn:    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+}y=0, \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}y=+\infty , \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-}y=-\infty , \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+}y=+\infty$.
-Bảng biến thiên:

 
Biện luận:
-Với 
  $\ln m
 -Với $0\leq \ln m
    $1\leq m
-Với $\ln m>e\Leftrightarrow m>e^e$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.