Đề bài: Giải hệ $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ \cos x+\cos y=\sqrt{3} \end{cases} x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Lời giải
Xét $f(t)=\tan t-t, t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
$f'(t)=\frac{1}{\cos^2 t}-1=\tan^2 t \geq0, \forall t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow t=0 \Rightarrow $ $f$ tăng trên $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Vì vậy $ f(x)=f(y) \left ( ( x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \right ) \Leftrightarrow x=y $
Tức là $\begin{cases}\tan x-\tan y=x-y \\ x,y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow x=y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
Vậy : Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=\pm \frac{\pi}{6}$
Trả lời