Đề: Tìm $a$ để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi $x$.$a{.4^x} + (a – 1){.2^{x + 2}} + a – 1 > 0$

Đề bài: Tìm $a$ để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi $x$.$a{.4^x} + (a – 1){.2^{x + 2}} + a – 1 > 0$

Lời giải

Đặt $t = {2^x} > 0$, khi đó bài toán quy về tìm $a$ để bất phương trình
$a{t^2} + 4\left( {a – 1} \right)t + a – 1 > 0$ nghiệm đúng với $\forall t > 0$            $(1)$
$(1)  \Leftrightarrow a\left( {{t^2} + 4t + 1} \right) > 4t + 1,\forall t > 0$
       $ \Leftrightarrow a > \frac{{4t + 1}}{{{t^2} + 4t + 1}},\forall t > 0 \Leftrightarrow a > 1 – \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 4t + 1}},\forall t > 0$
       $ \Rightarrow a \ge 1$ ( vì $\frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 4t + 1}} > 0,\forall t > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 4t + 1}} = 0$