Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {9 - x} \,\,\,\,\,;\,\,3 \le x \le 6$ Lời giải $y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {9 - x} }} = 0 \Rightarrow x = 5$Bảng biến thiên : ta suy ra:$\max y = 4$ khi $x = 5$$\min y = \sqrt 2 + \sqrt 6 $ khi $x = 3.$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : $y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {9 – x} \,\,\,\,\,;\,\,3 \le x \le 6$
Ứng dụng hàm số vào giải toán
Đề: Với những giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm$\frac{3}{sin^2x}+3tan^2x+m(tanx+cot x)-1=0 $
Đề bài: Với những giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm$\frac{3}{sin^2x}+3tan^2x+m(tanx+cot x)-1=0 $ Lời giải Điều kiện của nghiệm $x \ne k\frac{\pi }{2}$Phương trình đã cho tương đương với: $2\left( {t{g^2}{\rm{x}} + \cot {g^2}{\rm{x}}} \right) + m\left( {tg{\rm{x}} + \cot g{\rm{x}}} \right) + 2 = 0$ $(1)$Đặt $t = tg{\rm{x}} + \cot … [Đọc thêm...] vềĐề: Với những giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm$\frac{3}{sin^2x}+3tan^2x+m(tanx+cot x)-1=0 $
Đề: Tìm $a$ sao cho các giá trị lớn nhất trên $[-1;1]$ của hàm số $y=|f(x)|=|-2x^2+x+a|$ là nhỏ nhất
Đề bài: Tìm $a$ sao cho các giá trị lớn nhất trên $[-1;1]$ của hàm số $y=|f(x)|=|-2x^2+x+a|$ là nhỏ nhất Lời giải 1) Hoành độ đỉnh parabol $f(x)=-2x^2+x+a$ là $x_0=\frac{1}{a} \in [-1;1]$; hệ số của $x^2$ là $-1Bởi vậy : $M=\mathop {\max}\limits_{[-1;1]} f(x)=f(\frac{1}{4})=a+\frac{1}{8};$ $m= \mathop {\min}\limits_{[-1;1]}f(x)=\min \left\{ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm $a$ sao cho các giá trị lớn nhất trên $[-1;1]$ của hàm số $y=|f(x)|=|-2x^2+x+a|$ là nhỏ nhất
Đề: Cho $\begin{cases}x+y=1 \\x,y>0 \end{cases}$.Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$
Đề bài: Cho $\begin{cases}x+y=1 \\x,y>0 \end{cases}$.Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$ Lời giải Xét: $f(t)=t^{2}+\frac{1}{t^{2}},t>0$$f'(t)=2t-\frac{2}{t^{3}}$$f''(t)=2+\frac{6}{t^{4}}>0,\forall t>0 $$\Rightarrow$ Theo BĐT JenSen:$\Rightarrow f(x)+f(y) \geq 2f(\frac{x+y}{2})\geq \frac{17}{2}$$\Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $\begin{cases}x+y=1 \\x,y>0 \end{cases}$.Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$
Đề: Cho hàm số: $y = \frac{{2x^2 + x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,(1)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$.$2$. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số $(1)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.$3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{2\cos^2x + |\cos x| + 1}}{{|\cos x| + 1}}$
Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{2x^2 + x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,(1)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$.$2$. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số $(1)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.$3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{2\cos^2x + |\cos x| + … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = \frac{{2x^2 + x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,(1)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$.$2$. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số $(1)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.$3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{{2\cos^2x + |\cos x| + 1}}{{|\cos x| + 1}}$
Đề: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$
Đề bài: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$ Lời giải Xét hàm số $g(t)=\sqrt{t }-\ln t$ trên khoảng $(0;+\infty )$Ta có $g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{ t} }-\frac{1}{t}=\frac{\sqrt{ t}-2 }{2t}$Lập bảng biến thiên ta có$\min_{(0,+ \infty)} g(t)=g(4)=2-\ln 4=\ln e^2-\ln 4>0$ vì $e^2>4$Vậy với $t>0$ ta có $g(t)>g(4)>0$ (đpcm). … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$
Đề: Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$
Đề bài: Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x - 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$ Lời giải Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0,\pi )$.Giải phương trình $f(x) = 0$ với ẩn phụ $t = \tan \frac{x}{2}$, suy ra $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, ta có : $2+\frac{1-t^2}{1+t^2} -2t = 0 \Leftrightarrow 2t^3-t^2+2t-3 = 0 \Leftrightarrow (t-1)(2t^2+t+3) = 0$ $ … [Đọc thêm...] vềĐề: Xét dấu hàm số: $f(x) = 2 + \cos x – 2 \tan \frac{x}{2} $ trên $ (0,\pi )$
Đề: $1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 – 2x + 1 – m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 – 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$
Đề bài: $1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 - 2x + 1 - m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 - 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ … [Đọc thêm...] vềĐề: $1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 – 2x + 1 – m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 – 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$
Đề: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c} $Với $a > 0,b > 0,c > 0$. Tìm $\min y, \max y$
Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c} $Với $a > 0,b > 0,c > 0$. Tìm $\min y, \max y$ Lời giải • Tính $\max y$ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:$y \le \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $Dấu = xảy ra khi $a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c} $Với $a > 0,b > 0,c > 0$. Tìm $\min y, \max y$
Đề: Xét dấu hàm số: $f(x) = \sqrt{x+4} – \sqrt{1-x} – \sqrt{1-2x}$
Đề bài: Xét dấu hàm số: $f(x) = \sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}$ Lời giải Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-4,\frac{1}{2} ]$.Giải phương trình $f(x) = 0$, ta có : $f(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4}$ $\begin{cases}1-x > = 0\\ 1-2x \geq 0\\ 1-x+1-2x+2\sqrt{(1-x)(1-2x)}=x+4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x \leq 1 \\ x\leq … [Đọc thêm...] vềĐề: Xét dấu hàm số: $f(x) = \sqrt{x+4} – \sqrt{1-x} – \sqrt{1-2x}$