Đề bài: Với những giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm$\frac{3}{sin^2x}+3tan^2x+m(tanx+cot x)-1=0 $
Lời giải
Điều kiện của nghiệm $x \ne k\frac{\pi }{2}$
Phương trình đã cho tương đương với:
$2\left( {t{g^2}{\rm{x}} + \cot {g^2}{\rm{x}}} \right) + m\left( {tg{\rm{x}} + \cot g{\rm{x}}} \right) + 2 = 0$ $(1)$
Đặt $t = tg{\rm{x}} + \cot g{\rm{x}},\left| t \right| \ge 2$, khi đó $(1)$ trở thành.
$3{t^2} + mt – 4 = 0,\left| t \right| \ge 2$ $ (2)$
$ \Rightarrow m = \frac{{4 – 3{t^2}}}{t} = – 3t + \frac{4}{t} = y$
Ta có ${y^’} = – 3 – \frac{4}{{{t^2}}} Để $(2)$ có nghiệm thì $m \le – 4,m \ge 4 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 4$
Cách giải khác:
Gọi $f\left( t \right) = 3{t^2} + mt – 4,\left| t \right| \ge 2$ $(2)$
Vì $a = 3 > 0,\Delta = {m^2} + 48 > 0$, đo dó (2) vô nghiệm khi
$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { – 2} \right) > 0\\
f\left( 2 \right) > 0\\
– 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8 – 2m > 0\\
8 + 2m > 0\\
– 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| m \right| Từ đó $(2)$ có nghiệm khi $\left| m \right| \ge 4$
Trả lời