Đề: $1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình :                   $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 – 2x + 1 – m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 – 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$

Đề bài: $1.$ Với những giá trị nào của $m$ thì hệ bất phương trình :                   $\left\{ \begin{array}{l}x^2+ 10x + 9 \le 0\\x^2 – 2x + 1 – m \le 0\end{array} \right.$ có nghiệm.$2.$ Giải phương trình : $4^{x^2 – 3x + 2} + 4^{x^2 + 6x + 5}= 2^{^{x^2 + 3x + 7} }+ 1$$3.$ Cho các số $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0;\,\,y \ge 0\,;\,x + y = 1$Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$

Lời giải

$1.$ $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 10x + 9 \le 0\\
{x^2} – 2x + 1 – m \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 – 9 \le x \le  – 1\\
1 – \sqrt m  \le x \le 1 + \sqrt m \,\,\,(m \ge 0)
\end{array} \right.$
Hệ có nghiệm $1 – \sqrt m  \le  – 1 \Leftrightarrow m \ge 4$
$\begin{array}{l}
2)\,{4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{^{{2x^2} + 3x + 7}}} + 1\\
 \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{{x^2} + 6x + 5}} = {4^{^{{x^2} – 3x +
2}}}{4^{^{{x^2} + 6x + 5}}} + 1\\
 \Leftrightarrow \left( {{4^{^{{x^2} – 3x + 2}}} – 1} \right)\left( {1 – {4^{^{{x^2} + 6x + 5}}}}
\right) = 0
\end{array}$
Đáp số : $x = \pm1;x =2;x =- 5$
$3)$ Từ giả thiết $ \Rightarrow 0 \le xy \le \frac{1}{4}$. Ta có :
$P = \frac{{x^2 + x + y^2 + y}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy + 1}}{{2x
+ xy}} = \frac{{2 – 2xy}}{{2 + xy}}$
Đặt xy = t $ \Rightarrow P = \frac{{2 – 2t}}{{2 + t}}\,\,\,;0 \le t \le \frac{1}{4}$
$P’ = \frac{{ – 6}}{{{{(2 + t)}^2}}} Suy ra $\max P = 1$ (đạt khi $t = xy = 0 \Leftrightarrow   x = 0 ; y = 1$ hoặc $y = 0 ; x = 1$)
$\min P = 2/3$ (đạt khi $t = 1/4 \Leftrightarrow  x = y = 1/2$)