Đề: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$

Lời giải

•    Tính $\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$y  \le  \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c}  = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $
Dấu = xảy ra khi
 $a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như $\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy $\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c} $

•    Tính $\min y$
Do $y > 0$ nên ta xét:
$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)} $
   $ = a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c – \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a – b} \right)\sin {x^2}} \right]} $         $(1)$
Chỉ cần tìm $min$ của biểu thức trong căn, đặt ${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :
$u = \left[ {a + c – \left( {a – b} \right)t} \right].\left[ {b + c – \left( {a – b} \right)t} \right]$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$
$u’ = … = – 2{\left( {a – b} \right)^2}t + {\left( {a – b} \right)^2}$            $(2)$
Trường hợp $a = b$ thì $u’ \equiv 0 \Rightarrow u = $ hằng $ \Rightarrow z = $ hằng.
$ \Rightarrow $ từ $(1)$ có $z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c} $ nên $\min y = \sqrt {a + b}  + \sqrt {b + c}  = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)} $
Trường hợp $a \ne b$: từ $(2)$ $u’$ có nghiệm là $t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua $t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:
$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra
$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}  = {\left( {\sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} } \right)^2}$
$ \Rightarrow min z = \sqrt {a + c}  + \sqrt {b + c} $ vẫn như trường hợp $a = b$