Đề: Cho $\begin{cases}x+y=1 \\x,y>0  \end{cases}$.Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$

Đề bài: Cho $\begin{cases}x+y=1 \\x,y>0  \end{cases}$.Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$

Lời giải

Xét: $f(t)=t^{2}+\frac{1}{t^{2}},t>0$
$f'(t)=2t-\frac{2}{t^{3}}$
$f”(t)=2+\frac{6}{t^{4}}>0,\forall t>0 $
$\Rightarrow$ Theo BĐT JenSen:
$\Rightarrow f(x)+f(y) \geq 2f(\frac{x+y}{2})\geq \frac{17}{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{17}{2}$
$\Rightarrow$(ĐPCM)