Đề bài: Giải hệ $\begin{cases}\frac{\tan x}{x}=\frac{\tan y}{y} \\ \sin x+\sin y=\sqrt{2} \end{cases} x,y \in (0;\frac{\pi}{2})$
Lời giải
Xét: $ f(t)=\frac{\tan t}{t}, t \in (0;\frac{\pi}{2})$
$ f'(t)=\frac{\frac{t}{\cos^2 t }-\tan t}{t^2}=\frac{2t-\sin 2t}{2t^2.\cos^2 t}>0, \forall t \in (0;\frac{\pi}{2})$
( vì $|\sin u|0$)
$\Rightarrow f (t)$ tăng trên $(0;\frac{\pi}{2})$
Vì vậy : $ f(x)=f(y) \left ( x,y \in (0;\frac{\pi}{2}) \right ) \Leftrightarrow x=y$
Thay vào phương trình $\sin x+\sin y=\sqrt{2}$, ta có $ x=y=\frac{\pi}{4}$
Vậy có nghệm duy nhất $ x=y=\frac{\pi}{4}$
Trả lời