Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a. $l_a\leq m_a$ b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a. $l_a\leq m_a$ b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$ Lời giải $a.$ Ta có : $l_a=\frac{2bc}{b+c}.\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$ $\leq \frac{b+c}{b+c}\sqrt{p(p-a)}=\sqrt{p(p-a)} (1)$ $m^2_a=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)\geq \frac{1}{4}[(b+c)^2-a^2]=\frac{1}{4}(b+c+a)(b+c-a)=p(p-a)$ $m_a\geq \sqrt{p(p-a)} (2)$.Từ $(1),(2)$ , suy ra $l_a\leq m_a$, dấu $”=”$ […]
Bất đẳng thức trong tam giác
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $ Lời giải $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} \Leftrightarrow \frac{{{h_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{2r}}{R}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{4{S^2}}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {a + b + c} \right)\left( { […]
Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{1}{8}$
Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{1}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq \frac{1}{8}$ Lời giải Ta luôn có $\sin{\frac{A}{2}}, \sin{\frac{B}{2}},\sin{\frac{C}{2}}>0$. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được: $ \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}} \leq(\frac{ \displaystyle \sin{\frac{A}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}+ \sin{\frac{C}{2}}}{3})^3 \leq […]
Đề bài: Cho $\Delta ABC$.Chứng minh rằng :a) $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b) $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$
Đề bài: Cho $\Delta ABC$.Chứng minh rằng :a) $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b) $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $\Delta ABC$.Chứng minh rằng :a) $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b) $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$ Lời giải cần giải chi tiết ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$ Lời giải $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {b + c} }} \Leftrightarrow \frac{{{m_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{4bc}} […]
Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$. Lời […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn : $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0 (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn : $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0 (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn : $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0 (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Trước hết chứng minh cho $(1)$ đúng […]
Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ Lời giải Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có: $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có: $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có: $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2} (1)$.Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2} (1)$.Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ […]