Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$ Lời giải cần giải chi tiết ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$ Lời giải $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {b + c} }} \Leftrightarrow \frac{{{m_a}^2}}{{{l_a}^2}} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{4bc}} […]

Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$. Lời […]

Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Trước hết chứng minh cho $(1)$ đúng […]

Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ Lời giải Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội […]

Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + […]

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ […]

Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$ Lời giải Đặt $x=2b+2c-a ; y=2c+2a-b ; z=2a+2b-c \Rightarrow  x,y,z>0$$a=\frac{1}{9}(2y+2z-x), b=\frac{1}{9}(2z+2x-y), c=\frac{1}{9}(2x+2y-z)  $Thế vào, biến đổi và nhóm lại thì được:VT=$\frac{2}{9}[(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})]-\frac{1}{3} \geq \frac{2}{9}(2+2+2)-\frac{1}{3}=\frac{12}{9}-\frac{1}{3}=1  $ ========= Chuyên mục: […]

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có […]

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh […]