Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$ Lời giải Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge … [Đọc thêm...] vềĐề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$

Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng:            $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$ Lời giải Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng:            $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng:            $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$$b) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$(Với $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại,nội tiếp $\triangle ABC$ tương ứng) Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a) \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3$$b) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \sqrt{\frac{3}{2Rr}}$(Với $R,r$ là bán kính đường tròn ngoại,nội tiếp $\triangle ABC$ tương ứng)

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức:                 \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức:                 \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ ta luôn có bất đẳng thức:                 \(\frac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \frac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \frac{1}{{{c^3} + {a^3} + abc}} \le \frac{1}{{abc}}\)

Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$. Lời giải Cần lời giải chi … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ và $xyz=1$.Chứng minh $\frac{x^2}{x+y+y^3z}+\frac{y^2}{y+z+z^3x}+\frac{z^2}{z+x+x^3y}\geq 1$.

Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải Đề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a,b>0\). Chứng minh rằng:  \(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

Đề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$ Lời giải                                    GiảiTừ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x, y, z>0,    x+y+x=\pi$.  Chứng minh:    $\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\leq\frac{1}{8}$

Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $ Lời giải Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $

Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$ Lời giải Ta có:      $ \displaystyle 1+\frac{a}{b}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b>0, m\in N^*$. Chứng minh rằng:     $(1+\frac{a}{b})^m+(1+\frac{b}{a})^m\geq 2^{m+1}$

Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3...,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},...,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$ Lời giải Đề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3...,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a_{i},b_{i},c_{i}>0(i=1,2,3…,n)$$A=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}, B=\sum\limits_{i=1}^n b_{i},C=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}$Chứng minh rằng:$ Min(a_{1}b_{1}c_{1},a_{2}b_{2}c_{2},…,a_{n}b_{n}c_{n})\leq \frac{ABC}{n^{3}}$