Đề bài: $1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$

Lời giải

Đề bài:
$1) $Chứng minh: $\forall a,\,b\, > 0;\,a,b \ne 1$ ta có $\left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2$$2)$Chứng minh:$\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{\frac{9}{2}}}\pi }} < 2$
Lời giải

$1)$    Ta có:  ${\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} = \log _a^2b + \log _b^2a + 2\,\,\,\,\,(1)$
Áp dụng bất đẳng thức côsi:
$\log _a^2b + \log _b^2a \ge 2\sqrt {\log _a^2b\,.\,\log _b^2a}  = 2\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\begin{array}{l}
{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right)^2} \ge 4\\
 \Rightarrow \left| {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right| \ge 2
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi $\log _a^2b = \log _b^2a = 1$ do đó khi $a = b$  hoặc  $a = \frac{1}{b}$
$2)$    Ta có $\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{9/2}}\pi }} = {\log _\pi }2 + {\log _\pi }9/2 = {\log _\pi }2.\frac{9}{2} = {\log _\pi }9 = {\log _\pi }{3^2} = 2{\log _\pi }3$
Vì $3 Vậy $\frac{1}{{{{\log }_2}\pi }} + \frac{1}{{{{\log }_{9/2}}\pi }}

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi