Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$
Lời giải
Đề bài:
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. chứng minh rằng: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3(1+b)(1+c)}{(1+b)(1+c).64}}=\frac{3a}{4}$.
Tương tự : $\displaystyle\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+c}{8} \geq \frac{3b}{4}$,
$\displaystyle\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8} \geq \frac{3c}{4}$.
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta có:
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
Vì $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$,
Do đó:
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}$
Do đó:
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}$
$\displaystyle\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : $a=b=c=1$
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi
Để lại phản hồi