(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, có \(AC = a\sqrt 3 ,\widehat {ABC} = {60^0}\). Biết rằng \(SA = SC\), \(SB = SD\) và khoảng cách từ \(A\) mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:

Câu hỏi:

A. \(\frac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{8}\).

B. \(\frac{{9\sqrt 6 {a^3}}}{{16}}\).

C. \(\frac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{{40}}\).

D. \(\frac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{{16}}\).

Lời giải:

Chọn D

Gọi \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo\(AC,BD\). Khi đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Dựng \(AK,OI\) lần lượt vuông góc với \(BC\).

Dựng \(OH \bot SI\) tại \(H\).

Vì \(AC = a\sqrt 3 ,\widehat {ABC} = {60^0}\) nên tam giác \(ABC\) đều.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).

Lại có \(OH \bot SI \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Mặt khác \(\frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\),\(AK = \frac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow OI = \frac{{3a}}{4}\).

Nên \(\frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} – \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{{16}}{{6{a^2}}} – \frac{{16}}{{9{a^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\).

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{{16}}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện