(Sở Thanh Hóa 2022) Cho khối chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành có thể tích bằng \(84{a^3}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB;J\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(JC = 2JS;H\) thuộc cạnh \(SD\) sao cho \(HD = 6HS\). Mặt phẳng \((MHJ)\) chia khối chóp thành hai phần. Thể tích khối đạ diện của phần chứa đỉnh \(S\) bằng

Câu hỏi:

A. \(17{a^3}\).

B. \(19{a^3}\).

C. \(24{a^3}\).

D. \(21{a^3}\).

Lời giải:

Gọi \(P = HJ \cap CD;N = MP \cap BC;Q = MP \cap AD;E = QH \cap SA\) khi đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) là \(SBMEHJN\).

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(D\), \(E,F\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC,CA,AB\). Khi đó \(D,E,F\) thẳng hàng thì \(\frac{{DB}}{{DC}} \cdot \frac{{EC}}{{EA}} \cdot \frac{{FA}}{{FB}} = 1\).

Áp dụng định lí trên có: \(\frac{{PC}}{{PD}} \cdot \frac{{HD}}{{HS}} \cdot \frac{{JS}}{{JC}} = 1 \Rightarrow \frac{{PC}}{{PD}} \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{PC}}{{PD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{BM}}{{PC}} = 1}\\{\frac{{QA}}{{QD}} = \frac{{AM}}{{PD}} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Tương tự \(\frac{{ES}}{{EA}} \cdot \frac{{QA}}{{QD}} \cdot \frac{{HD}}{{HS}} = 1 \Rightarrow \frac{{ES}}{{EA}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 6 = 1 \Rightarrow \frac{{ES}}{{EA}} = \frac{1}{2}\). Ta có \({V_{SBMEHJN}} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MEHJN}} = {V_{S.BMN}} + \left( {{V_{S.MEH}} + {V_{S.MHJ}} + {V_{S.MNJ}}} \right)\).

\(\begin{array}{l}{V_{S.BMN}} = \frac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{ABCD}}}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\\{V_{S.MEH}} = \frac{{SE}}{{SA}} \cdot \frac{{SH}}{{SD}}{V_{S.MAD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{{{S_{MAD}}}}{{{S_{ABCD}}}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{84}}{V_{S.ABCD}}\\{V_{S.MHJ}} = \frac{{SH}}{{SD}} \cdot \frac{{SJ}}{{SC}}{V_{S.MDC}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{{S_{MDC}}}}{{{S_{ABCD}}}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{42}}{V_{S.ABCD}}\\{V_{S.MNJ}} = \frac{{SJ}}{{SC}}{V_{S.MNC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{S_{MNC}}}}{{{S_{ABCD}}}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{SBMEHJN}} = \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{24}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{{17}}{{84}} \times 84{a^3} = 17{a^3}.\end{array}\)

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện