(Sở Phú Thọ 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + 4 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( {4; – 12;1} \right)\) nhỏ nhất. Tung độ của điểm \(M\) bằng

Câu hỏi:

A. \( – 6\).

B. \( – 4\).

C. \(0\).

D. \(2\).

Lời giải:

Chọn B

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 2;0; – 5} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 6 \).

Ta có: \(A \notin \left( \alpha \right);AI = \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} + {{12}^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} = 6\sqrt 6 \Rightarrow A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(\left( \alpha \right)\) là: \(d = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { – 2 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {22} \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( \alpha \right)\).

Ta có \(IK \bot \left( \alpha \right)\) nên đường thẳng \(IK\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình \(IK:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + t\\y = t\\z = – 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { – 2 + t;t; – 5} \right)\).

Vì \(K \in \left( \alpha \right)\) nên: \( – 2 + t + t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = – 1 \Rightarrow K\left( { – 3; – 1; – 5} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( \alpha \right)\).

Ta có \(AH \bot \left( \alpha \right)\) nên đường thẳng \(AH\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình \(AH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = – 12 + t\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4 + t; – 12 + t;1} \right)\).

Vì \(H \in \left( \alpha \right)\) nên: \(4 + t – 12 + t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow H\left( {6; – 10;1} \right) \Rightarrow AH = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow KH = \sqrt {{9^2} + {9^2} + {6^2}} = 3\sqrt {22} > r \Rightarrow H\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).

Khi đó ta có: \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {H{M^2} + 8} \).

Suy ra \(A{M_{\min }}\) khi \(H{M_{\min }}\)\( \Leftrightarrow H,M,K\) thẳng hàng ( theo thứ tự đó).

Khi đó: \(\overrightarrow {HM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {HK} \) (*).

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Từ (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 6 = \frac{2}{3}\left( { – 9} \right)\\y + 10 = \frac{2}{3}.9\\z – 1 = \frac{2}{3}.\left( { – 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = – 4\\z = – 3\end{array} \right.\).

Vậy, \(M\left( {0; – 4; – 3} \right)\) nên tung độ của \(M\) bằng \( – 4\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC