(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hình hộp đứng \(ABCD \cdot A\prime B\prime C\prime D\prime \) có cạnh \(AA\prime = 2\), đáy \(ABCD\) là hình thoi với \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(B\prime C\prime ,C\prime D\prime ,DD\prime \) và \(Q\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(QC = 3QB\). Thể tích của khối tứ diện \(MNPQ\) bằng

Câu hỏi:

A. \(3\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải:

Gọi \(O = AC \cap BD;O\prime = A\prime C\prime \cap B\prime D\prime \). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) sao cho các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt trùng với các tia \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OO\prime } \)

khi đó toạ độ các điểm là \(O(0;0;0),B(2\sqrt 3 ;0;0),C(0;2;0),D( – 2\sqrt 3 ;0;0),O\prime (0;0;2),B\prime (2\sqrt 3 ;0;2),C\prime (0;2;2),D\prime ( – 2\sqrt 3 ;0;2)\) và \(M(\sqrt 3 ;1;2),N( – \sqrt 3 ;1;2),P( – 2\sqrt 3 ;0;1),Q\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow {V_{MNPQ}} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] \cdot \overrightarrow {MQ} | = \frac{1}{6} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện