Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ \({R_1} = 20cm\), bán kính đường tròn lớn \({R_2} = 30cm\) và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm.

Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ \({R_1} = 20cm\), bán kính đường tròn lớn \({R_2} = 30cm\) và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm.

A. \(1250{\pi ^2}\,c{m^3}\)

B. \(1400{\pi ^2}\,c{m^3}\)

C. \(2500{\pi ^2}\,c{m^3}\)

D. \(600{\pi ^2}\,c{m^3}\)

Lời giải:

Thể tích săm xe bằng thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm \(I\left( {0\,;\,25} \right)\) bán kính bằng \(5\) quay quanh trục \(Ox\).

Ta có phương trình đường tròn là \({x^2} + {\left( {y – 25} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 25 + \sqrt {25 – {x^2}} \\y = 25 – \sqrt {25 – {x^2}} \end{array} \right.,x \in \left[ { – 5;5} \right]\).

Vậy \(V = \pi .\left[ {\int\limits_{ – 5}^5 {{{\left( {25 + \sqrt {25 – {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} – \int\limits_{ – 5}^5 {{{\left( {25 – \sqrt {25 – {x^2}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right] = 100\pi .\int\limits_{ – 5}^5 {\sqrt {25 – {x^2}} {\rm{d}}x} \).

Ta có \(\int\limits_{ – 5}^5 {\sqrt {25 – {x^2}} {\rm{d}}x} \) là diện tích nửa hình tròn tâm \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), bán kính bằng 5

\( \Rightarrow \int\limits_{ – 5}^5 {\sqrt {25 – {x^2}} {\rm{d}}x} = \frac{1}{2}.\pi {.5^2} = \frac{{25\pi }}{2}\).

Suy ra \(V = 100\pi .\int\limits_{ – 5}^5 {\sqrt {25 – {x^2}} {\rm{d}}x} = 100\pi .\frac{{25\pi }}{2} = \)\(1250{\pi ^2}\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).