nbsp; Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a\), \(AD = 2a\), \(SA\) vuông góc

với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối chóp theo \(a\).

A. \(\frac{{4\sqrt {15} }}{{45}}{a^3}\).

B. \(\frac{{4\sqrt {15} }}{{15}}{a^3}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}{a^3}\).

D. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{45}}{a^3}\).

Lời giải:

Kẻ \(AH \bot SD\) \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot AH\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) ta có \(AH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\) \( \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\).

Trong \(\Delta SAD\) ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\) \( \Rightarrow SA = \frac{{AH.AD}}{{\sqrt {A{D^2} – A{H^2}} }}\) \( = \frac{{\frac{a}{2} \cdot 2a}}{{\sqrt {4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} }}\) \( = \frac{{2a\sqrt {15} }}{{15}}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}SA.AB.AD\) \( = \frac{1}{3} \cdot \frac{{2a\sqrt {15} }}{{15}}.a.2a\) \( = \frac{{4\sqrt {15} }}{{45}}{a^3}\).