[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3{x^2} + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { – 2;4} \right)\)?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Lời giải:

Ta có

• \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 6x} \right)f’\left( {{x^3} – 3{x^2} + m} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 6x = 0\\f’\left( {{x^3} – 3{x^2} + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\{x^3} – 3{x^2} + m = 0\\{x^3} – 3{x^2} + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\ – {x^3} + 3{x^2} = m\\ – {x^3} + 3{x^2} + 2 = m\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của các hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2}\), \(y = – {x^3} + 3{x^2} + 2\) trên khoảng \(\left( { – 2;4} \right)\) như bảng sau

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có đúng ba điểm cực trị khi chỉ khi

\(\left[ \begin{array}{l}20 \le m < 22\\ – 16 < m \le – 14\end{array} \right.\)

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m = – 15,\, – 14,\,\,20,\,\,21\).

Vậy có \(4\) giá trị nguyên của \(m\) để yêu cầu bài toán được thỏa mãn.