[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x – 8\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { – {x^3} + 12x + m} \right)\) có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,5} \right)\)?

A. \(5\) .

B. \(6\) .

C. \(7\) .

D. \(8\) .

Lời giải:

Ta có:

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = – 2\end{array} \right.\)

\(g’\left( x \right) = \left( { – 3{x^2} + 12} \right).f’\left( { – {x^3} + 12x + m} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3{x^2} + 12 = 0\\ – {x^3} + 12x + m = 4\\ – {x^3} + 12x + m = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{(N)}}\\x = – 2\,\,\,\,\,{\rm{(L)}}\\{x^3} – 12x + 4 = m\,\,\,\,\\{x^3} – 12x – 2 = m\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của các hàm số \(y = {x^3} – 12x + 4\,,\,\,y = {x^3} – 12x – 2\) trên khoảng \(\left( {0\,;\,5} \right)\):

\(m\) thỏa bài toán khi và chỉ khi phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm bậc lẻ trên khoảng \(\left( {0\,;\,5} \right)\).

Do đó \(63 \le m < 69\).

Các giá trị nguyên của \(m\) cần tìm là \(63,\,64,\,65,\,66,\,67,\,68\).

Vậy có 6 giá trị m thỏa bài toán.