[ Mức độ 4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau.

Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{{{f^2}\left( x \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2{x^5} + {x^4} – 10{x^3} – 5{x^2} + 8x + 4} \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

[ Mức độ 4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau.

Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{{{f^2}\left( x \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right)} \right]\left( {2{x^5} + {x^4} – 10{x^3} – 5{x^2} + 8x + 4} \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. \(7\).

B. \(6\).

C. \(5\).

D. \(4\).

Lời giải:

Điều kiện: \({x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le – 1\end{array} \right.\).

Nhận xét: Dựa vào đồ thị ta có: \(f\left( x \right) = a{x^2}\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\). Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \mp \infty } y = 0\)suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 0\).

Mặt khác: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)( trong đó \(x = 0\)là nghiệm bội hai).

\(f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\,\left( { – 1 < {x_1} < 0} \right)\\x = {x_2}\left( {2 < {x_2} < 3} \right)\end{array} \right.\).

\(2{x^5} + {x^4} – 10{x^3} – 5{x^2} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = \pm 1\\x = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là: \(x = {x_2}\), \(x = – 1\) và \(x = – 2\).

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang và ba đường tiệm cận đứng.