[Mức độ 3] Xét các số phức \(z,{\rm{ w}}\) thoả mãn \(\left( {z + 2 – 4i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)\) là số thuần ảo và \(\left| {{\rm{w}} + 2 – 2i} \right| = 2\). Khi \(\left| {z – {\rm{w}}} \right| = 1\), giá trị của \(\left| {z + {\rm{w}} + 4 – 4i} \right|\) bằng
A. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
B. \(\sqrt 3 \).
C. \(\frac{{\sqrt {15} }}{2}\).
D. \(\sqrt {15} \).
Lời giải
Gọi \(A,B\) lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức \(z,{\rm{ w}}\).
Đặt \(z = x + iy,{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\left( {z + 2 – 4i} \right)\left( {\overline z + 2} \right) = \left[ {x + 2 + \left( {y – 4} \right)i} \right].\left[ {x + 2 – yi} \right]\) là số thuần ảo
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + y\left( {y – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4\)
Suy ra \(A\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { – 2;2} \right)\), bán kính \(R = 2.\)
\(\left| {{\rm{w}} + 2 – 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow IB = 2 \Rightarrow B\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { – 2;2} \right)\), bán kính \(R = 2.\)
\(\left| {z – {\rm{w}}} \right| = 1 \Rightarrow AB = 1\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow IH \bot AB\) và \(H\) là điểm biểu diễn số phức \(\frac{{z + {\rm{w}}}}{2}\)
Ta có \(IH = \sqrt {{R^2} – H{A^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{z + {\rm{w}}}}{2} + 2 – 2i} \right| = \frac{{\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow \left| {z + {\rm{w}} + 4 – 4i} \right| = \sqrt {15} \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời