[ Mức độ 3] Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 8\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\left| z \right|.\) Khi đó \(M + {m^2}\) bằng
A. \(4 – \sqrt 7 .\).
B. \(11\).
C. \(7.\).
D. \(4 + \sqrt 7 .\)
Lời giải.
Chọn B
Gọi \(z = x + yi\) với \(x;y \in \mathbb{R}\).
Ta có \(8 = \left| {z – 3} \right| + \left| {z + 3} \right| \ge \left| {z – 3 + z + 3} \right| = \left| {2z} \right| \Rightarrow \left| z \right| \le 4\).
Do đó \(M = max\left| z \right| = 4\).
Mà \(\left| {z – 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {x – 3 + yi} \right| + \left| {x + 3 + yi} \right| = 8 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} = 8\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
\(8 = 1.\sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {y^2}} + 1.\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \right]} \)
\( \Leftrightarrow 8 \le \sqrt {2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right)} \Leftrightarrow 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right) \ge 64\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 7 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \sqrt 7 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge \sqrt 7 \).
Do đó \(m = min\left| z \right| = \sqrt 7 \).
Vậy \(M + {m^2} = 4 + 7 = 11\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời