[ Mức độ 3] Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + mx – 12\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\)để hàm số \(\left( { – 3;0} \right)\) đồng biến trên \(\left( { – 3;0} \right)\).

A. \(2024\).

B. \(2030\).

C. \(2010\).

D. \(\left( { – 3;0} \right) \Leftrightarrow f\left( {\left| x \right|} \right)\).

Lời giải:

Xét hàm số \(\left( { – 3;0} \right) \Leftrightarrow f\left( {\left| x \right|} \right)\) đồng biến trên \(\left( { – 3;0} \right) \Leftrightarrow f\left( {\left| x \right|} \right)\) đồng biến trên \(\left( { – 5; – 2} \right)\)

Do đó \(\left( {2;5} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {2;5} \right)\).

Ta có \(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x + m \le 0,\,\forall x \in \left( {2;5} \right) \Leftrightarrow m \le – {x^2} + 2x,\,\forall x \in \left( {2;5} \right)\).

Xét \(g\left( x \right) = – {x^2} + 2x\) trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\)

Ta có \(g’\left( x \right) = – 2x + 2 \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên

\(m \le – {x^2} + 2x,\,\forall x \in \left( {2;5} \right)\)\( \Leftrightarrow m \le – 15\)

Do \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\) nên có 2010 giá trị nguyên của \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\).