ĐỀ BÀI:
Một mặt cầu có tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của chóp tam giác đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh \(A,\,B,\,C\) thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là \(1\). Tính độ dài \(L\) các giao tuyếncủa mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
A. \(L \in \left( {1;\sqrt 2 } \right).\)
B. \(L \in \left( {2;3\sqrt 2 } \right).\)
C. \(L \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right).\)
D. \(L \in \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right).\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có hình vẽ minh họa sau:
Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn \(AB\), kẻ \(OI \bot SD\), dễ dàng chứng minh được \(OI \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra \(I\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\) giao tuyến của mặt cầu tâm \(O\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) với \(SB,\,SA\); \(K\) là trung điểm của \(MB\).
Giả sử: \(AB = a\), theo giả thiết ta suy ra \(OC = 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = 1 \Leftrightarrow a = \sqrt 3 \).
Ta có: \(SD = CD = \frac{3}{2},\,\,OD = \frac{1}{2},\,SO = \sqrt {S{C^2} – O{C^2}} = \sqrt 2 ,\,OI = \frac{{SO.OD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3},\) \(ID = \frac{{O{D^2}}}{{SD}} = \frac{1}{6},\,SI = \frac{4}{3}\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\), khi đó \(r = \sqrt {1 – O{I^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Ta có \(\Delta SIK\) vuông tại \(K\) và \(\widehat {ISK} = 30^\circ \Rightarrow IK = \frac{1}{2}IS = \frac{2}{3}\).
Xét \(\Delta MIK\)vuông tại \(K\) có \(\cos \widehat {MIK} = \frac{{IK}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} \Rightarrow \widehat {MIK} \approx 28^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} \approx 64^\circ \).
Khi đó, chiều dài cung \(MN\)bằng \(\frac{{64}}{{180}}.\frac{{\sqrt 7 }}{3} = \frac{{16\sqrt 7 }}{{135}}\).
Vậy tổng độ dài \(L\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là \(L = \frac{{16\sqrt 7 }}{{45}} \approx 0,94\).
===========
Trả lời