Một chiếc máy bay đang bay trên không trung

Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và gọi bộ số $(x;y;z)$ là tọa độ điểm biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Biết các đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ theo đơn vị km. Tại thời điểm $6$h máy bay đang ở vị trí $A(80;170;4)$ và chuyển động với vận tốc $\overrightarrow{v_1}=(200;500;4)$(km/h). Khi đạt độ cao $8$km, máy bay ở vị trí $B$ thì máy bay đổi vận tốc mới là $\overrightarrow{v_2}=(a;b;c)$, $a,b,c\in \mathbb{R}$ để hướng đến sân bay $C(1920;2230;0)$. Biết rằng máy bay đó đến sân bay $C$ vào lúc $10$h cùng ngày. Giả thiết máy bay đó khi bay trên từng chặng $AB$ và $BC$ là giữ nguyên vận tốc và hướng bay. Với $a+b+c=\dfrac{m}{n}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in{N};\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản khi đó $m+n$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 1065
Lời giải: Gọi $t$(h) là thời gian bay từ vị trí $A(80;170;4)$ đến vị trí $B(c;d;8)$ – tại nơi có độ cao $8$km.
Ta có $\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{OB}=(c;d;8)$.
$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{v_1}=(80+200t;170+500t;4+4t)$.
Suy ra $4+4t=8\Leftrightarrow t=1$
Khi đó $B(280;670;8)$. Vậy tại thời điểm $7$h cùng ngày, tọa độ của máy bay ở vị trí là $B(280;670;8)$.
Vì máy bay đáp xuống sân bay $C(1920;2230;0)$ vào lúc $10$h cùng ngày nên thời gian bay từ vị trí $B(280;670;8)$ (Máy bay ở độ cao $8$km) đến $C(1920;2230;0)$ là $3$h.
Do đó $\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{OC}=(1920;2230;0)$.
Suy ra $\overrightarrow{v_2}=\left(\dfrac{1640}{3};520;- \dfrac{8}{3}\right)$.
Vậy $a+b+c = 1064 \Rightarrow m+n = 1065$.