Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng \({\rm{1m}}\), trục bé bằng \({\rm{0}}{\rm{,8m}}\), chiều dài (mặt trong của thùng) bằng \({\rm{3m}}\). Thùng đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \({\rm{0}}{\rm{,6m}}\). Tính thể tích \(V\)của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm).

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng \({\rm{1m}}\), trục bé bằng \({\rm{0}}{\rm{,8m}}\), chiều dài (mặt trong của thùng) bằng \({\rm{3m}}\). Thùng đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \({\rm{0}}{\rm{,6m}}\). Tính thể tích \(V\)của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm).

A. \(V = {\rm{1}}{\rm{,52}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

B. \(V = 1,3{\rm{1}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

C. \(V = 1,27{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

D. \(V = 1,19{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Theo đề bài ta có phương trình của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1\).

Gọi \(M\), \(N\)lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi \({S_1}\) là diện tích của Elip ta có \({S_1} = \pi ab = \pi \frac{1}{2}.\frac{2}{5} = \frac{\pi }{5}\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng \(MN\).

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là \({\rm{0}}{\rm{,6m}}\) nên ta có phương trình của đường thẳng \(MN\) là \(y = \frac{1}{5}\).

Mặt khác từ phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{{25}}}} = 1\) ta có \(y = \frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} – {x^2}} \).

Do đường thẳng \(y = \frac{1}{5}\) cắt Elip tại hai điểm \(M\), \(N\) có hoành độ lần lượt là \( – \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) nên

\({S_2} = \int\limits_{ – \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\left( {\frac{4}{5}\sqrt {\frac{1}{4} – {x^2}} – \frac{1}{5}} \right){\rm{d}}x} = \frac{4}{5}\int\limits_{ – \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} – {x^2}} {\rm{d}}x} – \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).

Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{{\sqrt 3 }}{4}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}} {\sqrt {\frac{1}{4} – {x^2}} {\rm{d}}x} \).

Đặt \(x = \frac{1}{2}\sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos t{\rm{d}}t\).

Đổi cận: Khi \(x = \frac{{ – \sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = – \frac{\pi }{3}\); Khi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) thì \(t = \frac{\pi }{3}\).

\(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{2}{\rm{.}}\frac{1}{2}{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\int\limits_{ – \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{8}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Vậy \({S_2} = \frac{4}{5}\frac{1}{8}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) – \frac{{\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{\pi }{{15}} – \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}\).

Thể tích của dầu trong thùng là \(V = \left( {\frac{\pi }{5} – \frac{\pi }{{15}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{20}}} \right).3 = 1,52\).