Bài toán gốc
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=9\sin x-4x$ là?
A. $-9\cos x-2x^2+C$.
B. $9\cos x-2x^2+C$.
C. $-9\sin x-2x^2+C$.
D. $9\sin x-4x^2+C$.
Lời giải: Ta có $\int{\sin x\text{d}x}=-9\cos x-2x^2+C$. với $C$ là hằng số.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm họ nguyên hàm (tích phân bất định) của hàm số được cho dưới dạng tổng/hiệu của các hàm sơ cấp (hàm đa thức và hàm lượng giác). Phương pháp giải sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân và các công thức nguyên hàm cơ bản:
1. Công thức nguyên hàm của hàm mũ: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
2. Công thức nguyên hàm của hàm sin: $\int \sin x dx = -\cos x + C$.
Bài toán tương tự
1. **Bài toán tương tự 1:**
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6\cos x + 5x^4$ là:
**A.** $-6\sin x + x^5 + C$.
**B.** $6\sin x + x^5 + C$.
**C.** $6\sin x + 20x^3 + C$.
**D.** $6\cos x + x^5 + C$.
Đáp án đúng: **B.**
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int (6\cos x + 5x^4) dx = 6\int \cos x dx + 5\int x^4 dx = 6\sin x + 5\left(\frac{x^5}{5}\right) + C = 6\sin x + x^5 + C$.
2. **Bài toán tương tự 2:**
Họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3e^x – 6x^2$ là:
**A.** $3e^x – 12x + C$.
**B.** $3e^x – 2x^3 + C$.
**C.** $\frac{e^{x+1}}{x+1} – 2x^3 + C$.
**D.** $3e^x + 2x^3 + C$.
Đáp án đúng: **B.**
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int (3e^x – 6x^2) dx = 3\int e^x dx – 6\int x^2 dx = 3e^x – 6\left(\frac{x^3}{3}\right) + C = 3e^x – 2x^3 + C$.
3. **Bài toán tương tự 3:**
Họ nguyên hàm của hàm số $h(x) = 2x^3 – \frac{5}{x}$ (với $x > 0$) là:
**A.** $\frac{1}{2}x^4 – 5\ln x + C$.
**B.** $6x^2 + \frac{5}{x^2} + C$.
**C.** $x^4 – 5\ln x + C$.
**D.** $\frac{1}{2}x^4 – \ln(5x) + C$.
Đáp án đúng: **A.**
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int \left(2x^3 – \frac{5}{x}\right) dx = 2\int x^3 dx – 5\int \frac{1}{x} dx = 2\left(\frac{x^4}{4}\right) – 5\ln|x| + C$. Vì $x>0$, kết quả là $\frac{1}{2}x^4 – 5\ln x + C$.
4. **Bài toán tương tự 4:**
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $k(x) = -8\sin x + 2\cos x$.
**A.** $8\cos x + 2\sin x + C$.
**B.** $-8\cos x + 2\sin x + C$.
**C.** $-8\cos x – 2\sin x + C$.
**D.** $-8\sin x + 2\cos x + C$.
Đáp án đúng: **A.**
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\int (-8\sin x + 2\cos x) dx = -8(-\cos x) + 2(\sin x) + C = 8\cos x + 2\sin x + C$.
5. **Bài toán tương tự 5:**
Họ nguyên hàm của hàm số $m(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 12x^5$ là:
**A.** $\ln \sqrt{x} + 2x^6 + C$.
**B.** $2\sqrt{x} + 2x^6 + C$.
**C.** $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x^6 + C$.
**D.** $2\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^6 + C$.
Đáp án đúng: **B.**
Lời giải ngắn gọn: Ta viết $m(x) = x^{-1/2} + 12x^5$. $\int m(x) dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + \frac{12x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{12x^6}{6} + C = 2\sqrt{x} + 2x^6 + C$