Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian

Bài toán: Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian $Oxyz$, tỉ lệ dài trên các trục là 10 km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục, cho bốn vệ tinh có tọa độ lần lượt là $A\left(-1;2;-1\right),B\left(1;4;0\right),C\left(3;0;9\right),D\left(7;10;-1\right)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Các vệ tinh dùng sóng điện từ có tần số 1 MHz . Ở một thời điểm cả 4 vệ tinh bắn tín hiệu về $M$ thì sau nhận được tín hiệu trả về ngay sau đó trong những khoảng thời gian là $t_{A}=0,4\mathrm{\,\;ms},t_{B}=0,2\mathrm{\,\;ms},t_{c}=\dfrac{2}{3}\mathrm{\,\;ms},t_{D}=0,4\mathrm{\,\;ms}$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ (Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3.10^{8}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ và kết quả tính được làm tròn đến hàng phần trăm)
Lòi giải
Từ vệ tinh $A$ sẽ phát tín hiệu đến điểm $M$ và sẽ thu tín hiệu quay về $A$
Từ đó ta có thể suy ra được: $2AM=c\cdot t_{A}\Rightarrow AM=\dfrac{c\cdot t_{A}}{2}$. Do đó $AM=\dfrac{c\cdot t_{A}}{2}=\dfrac{3\cdot 10^{8}\cdot 0,4\cdot 10^{-3}}{2}=60000\mathrm{\,\;m}$ $=60\mathrm{\,\;km}$ và ta quy đổi trong hệ trục $Oxyz$ thì ta có $AM=6$.
Tương tự: $BM=3,CM=10,DM=6$.
Tại thời điểm bốn vị tinh bắn tín hiệu về điểm $M$. Khi đó ta có hệ phương trình sau:
$\begin{array}{*{20}{c}}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}(a+1)^{2}+(b-2)^{2}+(c+1)^{2}=36&\left(1\right)\\(a-1)^{2}+(b-4)^{2}+c^{2}=9&\left(2\right)\\(a-3)^{2}+b^{2}+(c-9)^{2}=100&\left(3\right)\\(a-7)^{2}+(b-10)^{2}+(c+1)^{2}=36&\left(4\right)\end{array}\right. \# \end{array}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{20}{l}}\left(2\right)-\left(1\right):-4a-4b-2c=-38\\\left(3\right)-\left(1\right):-8a+4b-20c=-20\\\left(4\right)-\left(1\right):-14a-14b=-144\end{array}\right. $
Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a=3,b=6,c=1\Rightarrow M\left(3;6;1\right)$
Vậy khoảng cách từ $M$ đến $O$ là: $\sqrt {(3-0)^{2}+(6-0)^{2}+(1-0)^{2}} =\sqrt {46} \approx 6,78$.