Câu hỏi:
hàm số \(y = f\left( x \right)\), có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là
\(f’\left( x \right) = {m^2}{x^4} – m\left( {m + 2} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} – \left( {m + 2} \right)x + m\).
Số các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
A. \(1\).
B. \(3\).
C. \(0\).
D. \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(f’\left( x \right) = {m^2}{x^4} – m\left( {m + 2} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} – \left( {m + 2} \right)x + m\)
\( = {m^2}{x^3}\left( {x – 1} \right) – 2m{x^2}\left( {x – 1} \right) + 2x\left( {x – 1} \right) – m\left( {x – 1} \right)\)
\( = \left( {x – 1} \right)\left( {{m^2}{x^3} – 2m{x^2} + 2x – m} \right)\)
\( = \left( {x – 1} \right).g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right) = {m^2}{x^3} – 2m{x^2} + 2x – m\).
Nhận xét: Nếu \(x = 1\) không phải là nghiệm của \(g\left( x \right)\) thì khi đó \(x = 1\) là nghiệm đơn của phương trình \(f’\left( x \right) = 0\), nên \(f’\left( x \right)\) sẽ đổi dấu khi đi qua điểm \(x = 1\), tức là hàm số không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do vậy ta làm tiếp như sau:
*) Điều kiện cần: \(x = 1\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2}{.1^3} – 2m{.1^2} + 2.1 – 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
*) Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) ta có \(f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^3} – 2{x^2} + 2x – 1} \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – x + 1} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \)hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\( \Rightarrow m = 1\) thỏa mãn.
Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC
Trả lời