Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 8 km về phía nam và 5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,7 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 8 km về phía bắc và 7 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,9 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo lấy theo kilomet). Gọi $M(a; b; 0)$ là điểm nằm trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính $a + b$.
Đáp án: 0,75
Lời giải: Khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ $A(8;5;0,7)$, khinh khí cầu thứ hai có tọa độ $B(-8;-7;0,9)$. Gọi $K(-8;-7;-0,9)$ đối xứng với $B$ qua $(Oxy)$. Khi đó $MA+MB$ ngắn nhất khi $M, A, K$ thẳng hàng.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(x-8;y-5;-0,7\right),\overrightarrow{KM}=\left(x+8;y+7;0,9 \right)$.
$A,M,K$ thẳng hàng khi $x=1,y=-\dfrac{1}{4}$. Vậy $a+b=\dfrac{3}{4}$.