Bài toán gốc
$f(x)=10x^8+8\sin x+5\ln |x|+10$ là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. $80x^7-8\cos x+\dfrac{5}{x}$
B. $\dfrac{10}{9}x^9-8\cos x+\dfrac{5}{x}$
C. $80x^7+8\cos x+\dfrac{5}{x}$
D. $\dfrac{10}{9}x^9-8\cos x+\dfrac{5}{x}+10x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán cơ bản về mối quan hệ giữa hàm số và nguyên hàm. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$, thì $f(x)$ chính là đạo hàm của $F(x)$, tức là $f(x) = F'(x)$. Phương pháp giải là áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản (đạo hàm hàm lũy thừa, hàm lượng giác, hàm logarit) cho hàm $F(x)$ đã cho.
Bài toán tương tự
**1.** Hàm số $F(x) = 3x^5 – 2\cos x + 4e^x – 7$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. $15x^4 + 2\sin x + 4e^x$ B. $3x^4 – 2\sin x + 4e^x$ C. $15x^4 – 2\sin x + 4e^x – 7x$ D. $15x^4 – 2\sin x + 4e^x$ Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: Ta có $F'(x) = (3x^5)’ – (2\cos x)’ + (4e^x)’ – (7)’ = 15x^4 – 2(-\sin x) + 4e^x – 0 = 15x^4 + 2\sin x + 4e^x$. **2.** Hàm số nào dưới đây có nguyên hàm là $F(x) = \ln(x^2 + 1) + 6x^3 + 10x$? A. $\dfrac{1}{x^2 + 1} + 18x^2 + 10$ B. $\dfrac{2x}{x^2 + 1} + 18x^2 + 10$ C. $\dfrac{1}{x^2 + 1} + 18x^2$ D. $\dfrac{2x}{x^2 + 1} + 6x^2 + 10$ Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Ta tính đạo hàm $F'(x)$. Ta có $(\ln(x^2 + 1))’ = \dfrac{(x^2 + 1)’}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Và $(6x^3 + 10x)’ = 18x^2 + 10$. Do đó $F'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} + 18x^2 + 10$. **3.** Hàm số $F(x) = \tan x – 5x^2 + \dfrac{1}{x} + 2024$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nào? A. $\sec^2 x – 10x + \ln |x|$ B. $\sec^2 x – 10x – \dfrac{1}{x^2}$ C. $\cot x – 10x – \dfrac{1}{x^2}$ D. $\sec^2 x – 10x + \dfrac{1}{x^2}$ Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Ta tính đạo hàm $F'(x)$. $(\tan x)’ = \sec^2 x$. $(-5x^2)’ = -10x$. $(\dfrac{1}{x})’ = (x^{-1})’ = -1x^{-2} = – \dfrac{1}{x^2}$. Vậy $F'(x) = \sec^2 x – 10x – \dfrac{1}{x^2}$. **4.** Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $F(x) = 2\sqrt{x} + 3\ln x – e^{2x} + 5$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$. A. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x} – e^{2x}$ B. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x} – 2e^{2x}$ C. $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x} – 2e^{2x}$ D. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x} – \dfrac{1}{2}e^{2x}$ Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Ta có $(2\sqrt{x})’ = 2 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. $(3\ln x)’ = \dfrac{3}{x}$. $(-e^{2x})’ = -2e^{2x}$. Vậy $f(x) = F'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{x} – 2e^{2x}$. **5.** Hàm số $F(x) = x\ln x – x + 9$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khi đó $f(x)$ là: A. $\ln x + 1$ B. $x\ln x$ C. $\ln x$ D. $\dfrac{1}{x} – 1$ Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: Ta tính đạo hàm $F'(x)$. Áp dụng quy tắc đạo hàm tích cho $x\ln x$: $(x\ln x)’ = (x)’\ln x + x(\ln x)’ = 1\cdot \ln x + x\cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$. Do đó $F'(x) = (x\ln x)’ – (x)’ + (9)’ = (\ln x + 1) – 1 + 0 = \ln x$. Vây $f(x) = \ln x$.