Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – t'\\y = t'\\z = 0\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

Các VTCP của d₁ và d₂ lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}}= \left( {2;1;0} \right),\overrightarrow {{u_2}}= \left( { – 1;1;0} \right)\).

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của d₁ và d₂.

Ta có: \(M\left( {2t;t;4} \right),N\left( {3 – t’;t’;0} \right)\).

\(\overrightarrow {MN} =\left( {3 – t’ – 2t;t’ – t;4} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3 – t’ – 2t} \right).2 + \left( {t’ – t} \right).1 – 4.0 = 0\\\left( {3 – t’ – 2t} \right).\left( { – 1} \right) + \left( {t’ – t} \right).1 – 4.0 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = t’ = 1\)

\( \Rightarrow M\left( {2;1;4} \right),N\left( {2;1;0} \right),\overrightarrow {MN} =\left( {0;0; – 4} \right)\).

Tâm I của (S) là trung điểm của MN:\( \Rightarrow I\left( {2;1;2} \right),R = \frac{{MN}}{2} = 2 \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\).