====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; – 3} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y – z + 9 = 0\). Đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;4; – 4} \right)\) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc \({90^0}\). Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A. \(J\left( { – 3;2;7} \right)\)
- B. \(H\left( { – 2; – 1;3} \right)\)
- C. \(K\left( {3;0;15} \right)\)
- D. \(I\left( { – 1; – 2;3} \right)\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; – 4} \right):\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = – 3 – 4t\end{array} \right.\)
Vì \(B \in d \Leftrightarrow B\left( {3b + 1;4b + 2; – 4b – 3} \right)\) kết hợp \(B \in \left( P \right)\), thay vào phương tình (P) tìm được \(b = – 1 \Rightarrow B\left( { – 2; – 2;1} \right)\)
Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; – 1} \right)\) cũng là vecto chỉ phương của AA’ nên:
Phương tình tham số của AA’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = – 3 – t\end{array} \right.\)
\(A’ \in AA’ \Rightarrow A'(1 + 2t;2 + 2t; – 3 – t)\)
Mặc khác \(A’ \in \left( P \right)\) thay vào phương trình (P) tìm được \(A’\left( { – 3; – 2; – 1} \right)\).
Do điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới góc \({90^0}\) nên: \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow M{B^2} = A{B^2} – M{A^2} \le A{B^2} – A'{A^2} = A'{B^2}\)
Độ dài MB lớn nhất khi \(M \equiv A’.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {A’B} = (1;0;2).\)
Vậy phương trình của MB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2 + t}\\{y = – 2}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
Ta thấy \(I\left( { – 1; – 2;3} \right)\) thuộc MB.
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời