====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;0} \right);C\left( {0;0;4} \right)\). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:
- A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = – 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
- B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 2 + 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
- C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
- D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = 1 – 3t}\end{array}} \right.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
\(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;0} \right);C\left( {0;0; – 4} \right)\).
Khi đó phương trình mp (ABC) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ – 4}} = 1\)
Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} – 2;{y_H};{z_H}} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; – 3; – 4} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {{x_H};{y_H} – 3;{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 2;0; – 4} \right)\)
Vì H là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x_H} – 2} \right).0 + {y_H}.\left( { – 3} \right) + {z_H}\left( { – 4} \right) = 0}\\{{x_H}.\left( { – 2} \right) + \left( {{y_H} – 3} \right).0 + {z_H}.\left( { – 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{y_H} + 4{z_H} = 0}\\{2{x_H} + 4{z_H} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_H} = – \frac{4}{3}{z_H}}\\{{x_H} = – 2{z_H}}\end{array}} \right.\)
Vì \(H \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{{{x_H}}}{2} + \frac{{{y_H}}}{3} + \frac{{{z_H}}}{{ – 4}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 2{z_H}}}{2} + \frac{{\frac{{ – 4}}{3}{z_H}}}{3}\frac{{{z_H}}}{{ – 4}} = 1 \Leftrightarrow – {z_H} – \frac{4}{9}{z_H} – \frac{{{z_H}}}{4} = 1\)
\( \Leftrightarrow {z_H} = – \frac{{36}}{{61}} \Leftrightarrow {x_H} = – 2{z_H} = \frac{{72}}{{61}};{y_H} = – \frac{4}{3}{z_H} = – \frac{4}{3}.\left( { – \frac{{36}}{{61}}} \right) = \frac{{48}}{{31}}\)
\( \Rightarrow H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; – \frac{{36}}{{61}}} \right)\)
\(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; – \frac{{36}}{{61}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {6;4; – 3} \right)\)
Pt đường thẳng OH là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\end{array}}\\{z = – 3t}\end{array}} \right.\)
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời