====
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\). Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
- A. \(MN = 2\sqrt 2 .\)
- B. \(MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
- C. \(MN = \sqrt 6 .\)
- D. \(MN =4.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, điểm M, N và cắt d tại H.
Khi đó IH chính bằng khoảng cách từ điểm I(1;2;1) đến đường thẳng d.
Điểm \(K\left( {2;0;0} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {1; – 2; – 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; – 1;4} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 2}&{ – 1}\\ { – 1}&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&1\\ 4&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}\\ 2&{ – 1} \end{array}} \right|} \right) = \left( { – 9; – 6;3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {126} }}{{\sqrt {21} }} = \sqrt 6 \\ \Rightarrow IH = \sqrt 6 ,IM = IN = R = \sqrt 2 \end{array}\)
Gọi O là trung điểm của \(MN \Rightarrow MO = \frac{{MH.MI}}{{IH}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
=======|+|
Xem lại lý thuyết Phương pháp tọa độ trong không gian
Trả lời