Đề toán 2022 Có bao nhiêu số phức \(z\)thỏa \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z + 4} \right)\left( {\overline z + 4i} \right)} \right| = {\left| {z – 4i} \right|^2}\).
A. \(4\). B. \(2\). C. \(1\) D. \(3\).
Lời giải
Đặt \(z = a + bi\) \(\left( {a,b \in R} \right)\).
Ta có \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow {\left| {a + bi} \right|^2} = 2\left| {a + bi – a + bi} \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left| b \right| & \left( 1 \right)\).
Lại có \(\left| {\left( {z + 4} \right)\left( {\overline z + 4i} \right)} \right| = {\left| {z – 4i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z + 4} \right|.\left| {z – 4i} \right| = {\left| {z – 4i} \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z – 4i} \right| = 0\\\left| {z + 4} \right| = \left| {z – 4i} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 4i & ({\rm{TM}} & \left( 1 \right))\\\left| {\left( {a + 4} \right) + bi} \right| = \left| {a + \left( {b – 4} \right)i} \right| & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b – 4} \right)^2} \Leftrightarrow a = – b\).
Thế vào (1), ta được \(2{b^2} – 4\left| b \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| b \right| = 0\\\left| b \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0,a = 0\\b = 2,a = – 2\\b = – 2,a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = \pm \left( {2 – 2i} \right)\end{array} \right.\)
Vậy có tất cả 4 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời