Đề: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + m$.  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $1$.

Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 + mx + m$.  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $1$.

Lời giải

Ta có:
$f(x) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} + 6x + m$
$f'(x)$ có $\Delta ‘ = 9 – 3m$
Nếu $\Delta ‘ \le 0 \Rightarrow f'(x) \ge 0  \forall x \Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến
Nếu $\Delta ‘ > 0 \Rightarrow f'(x)$ có 2 nghiệm phân biệt là ${x_1} Ta có: $f'(x) Tức là hàm số nghịch biến trong khoảng $({x_1},{x_2})$
Yêu cầu bài toán: $ \Leftrightarrow {x_2} – {x_1} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 3 + \sqrt {\Delta ‘} }}{3} – \frac{{ – 3 – \sqrt {\Delta ‘} }}{3} = 1 \Leftrightarrow \Delta’=\frac{9}{4} \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}$