Đề bài: Cho hàm số $y = x^3 + (1 – 2m)x^2 + (2 – m)x + m + 2 (C).$ Tìm $m$ để hàm đồng biến trên $( 0; + \infty )$
Lời giải
Hàm đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow y’ = 3{x^2} + 2(1 – 2m)x + (2 – m) \ge 0$ với $\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$
Xét $ f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 2x + 2}}{{4x + 1}} \ge m$ với $\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$
Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{2\left( {6{x^2} + x – 3} \right)}}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {73} }}{{12}}$
Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên $\left( {0; + \infty } \right)$, từ đó ta đi đến kết luận:
$f\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {73} }}{{12}}} \right) \ge m \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt {73} }}{8} \ge m$
Trả lời